SISTEMAS LINEARES

 
 

1. A soma dos quadrados das soluções do sistema é:

 
 

1. 34
   
2. 16
   
3. 4
   
4. 64
   
5. 25
   

2. ( UFRN ) A solução do sistema é:

 
 

1. ( -2, 7, 1 )
   
2. ( 4 -3, 5 )
   
3. ( 0, 1, 5 )
   
4. ( 2, 3, 1 )
   
5. ( 1, 2, 3 )
   

3. ( UFRN ) Se a, b, e c são as soluções do sistema , então a . b . c vale:

 
 

1. 60
   
2. 70
   
3. 80
   
4. 90
   
5. 100
   

4. ( ITA - SP ) Se então temos:

 
 

1. y = 1/5
   
2. x = -1/65
   
3. y = -2/65
   
4. y = 4
   
5. y = 3
   

5. Dado o sistema , podemos afirmar que x . y . z é:

 
 

1. -4
   
2. -30
   
3. -15
   
4. 30
   
5. 15
   

6. Sendo a 1 o valor de y - x no sistema é:

1. 1
   
2. -1
   
3. 0
   
4. a
   
5. 1-a
   

7. Sendo |a| |b| o par ( x, y ) solução do sistema é:

1. ( a, b )
   
2. ( -b, a )
   
3. ( a, -b )
   
4. ( b, a )
   
5. (-b, -a )
   

 
 

8. O valor de x/y no sistema é:

 
 

1. 1
   
2. 2
   
3. 3
   
4. 4
   
5. 6
   

 
 

9. O valor de no sistema , é:

 
 

1. 1
   
2. 2
   
3. 3
   
4. 4
   
5. -2
   

 
 

10. O valor de x + y + z no sistema é:

 
 

1. 0
   
2. 1
   
3. 2
   
4. 3
   
5. 4
   

 
 

11. O valor de x² + y² + z² no sistema é:

 
 

1. 29
   
2. 11
   
3. 20
   
4. 25
   
5. 13
   

 
 

12. O valor de no sistema é:

 
 

1. 7
   
2. 1/2
   
3. 1
   
4. -7
   
5. -1
   

 
 

13. O valor de x + y + z no sistema é:

 
 

1. 0
   
2. 1
   
3. 2
   
4. -1
   
5. -2
   

 
 

14. ( FUVEST - SP ) Se então x é igual a:

 
 

1. 27
   
2. 3
   
3. 0
   
4. -2
   
5. 4
   

 
 

15. ( FUVEST - SP ) Se , então x + y + z é igual a:

 
 

1. -2
   
2. -1
   
3. 0
   
4. 1
   
5. 2
   

 
 

PROBABILIDADE

 

Exercícios: 1 - Um dado honesto é lançado e observa-se o número da face voltada para cima. Qual a probabilidade desse número ser maior que 4?   2 - Uma urna contém 10 bolas identificadas pelas letras A, B, ...,J. Uma bola é extraída ao acaso da urna e sua letra é observada. Qual a probabilidade da bola sorteada ser:   a)A? b)F? c)vogal? d)consoante?   3 - Paulo quer telefonar para convidar uma colega para sair. Ele sabe que o telefone dela é 852-473__, mas não consegue se lembrar do último algarismo. Se Paulo só possui uma ficha telefônica e decide "chutar" o último algarismo, qual a probabilidade dele acertar o telefone da colega?   4-Numa quermesse, há uma barraca onde funciona o jogo do coelho. O coelho é solto no centro de um círculo, onde se distribuem 12 casinhas, numeradas de 1 a 12. Qual a probabilidade do coelho escolher uma casinha com um número múltiplo de 3?   5-Uma moeda é lançada três vezes sucessivamente. Qual a probabilidade de observarmos pelo menos duas caras?   6-Uma loja dispõe de 12 geladeiras do mesmo tipo, das quais 4 apresentam defeitos.   a) Se um freguês vai comprar uma geladeira, qual a probabilidade de levar uma defeituosa? b) Se comprar duas geladeiras, qual a probabilidade de levar duas defeituosas? 7 - Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de:   a) a soma ser menor que 4; b) a soma ser nove; c) o primeiro resultado ser maior que o segundo.   8 – Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e 2 com defeitos graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que:   a) ela não tenha defeitos graves; b) ela ou seja boa ou tenha defeitos graves. 9 – Considere o mesmo lote do problema anterior. Retiram-se 2 peças ao acaso. Qual a probabilidade de que ambas sejam perfeitas?     10 – Uma urna contém 5 bolas brancas e 6 pretas. Três bolas são retiradas, sem reposição. Calcular a probabilidade de:   a) Todas as bolas retiradas sejam pretas. b) Todas as bolas retiradas sejam brancas. c) As duas primeiras bolas sejam brancas e a terceira preta. d) Duas pretas e uma branca. 11 - Numa classe de 55 alunos, 21 praticam vôlei e basquete, 39 praticam vôlei e 33 praticam basquete. Um aluno da classe é escolhido ao acaso.   a) Qual a probabilidade do aluno escolhido praticar somente um desses esportes? b) Qual a probabilidade do aluno sorteado não praticar nenhum esporte? 12 - Um dado é lançado e observa-se o número da face voltada para cima. Determine a probabilidade de observarmos um número par ou múltiplo de 3. 13-Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de se obter soma dos pontos igual a 8 ou dois números iguais? Exercícios extras: 1 - Um nº é escolhido ao acaso entre os 20 inteiros, de 1 a 20. Qual a probabilidade do nº escolhido ser:   a) par?   b) ímpar?   2 - Uma urna contém 3 bolas brancas, 2 vermelhas e 5 azuis. Uma bola é escolhida ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade da bola escolhida ser:   a) branca?   b) vermelha?   c )azul?   d) vermelha ou azul?   e) não ser azul? 3 - Uma urna contém 6 bolas pretas, 2 bolas brancas e 10 bolas amarelas. Retiram-se duas bolas da urna, com reposição. Qual a probabilidade das bolas retiradas serem:   a) pretas   b) amarelas   c) uma branca e uma amarela   4 - Uma moeda é lançada três vezes. Ache a probabilidade de se obterem:   a) três caras;   b) nenhuma cara.   c) duas coroas.   5 - São lançados dois dados. Qual a probabilidade de:   a) obter-se um par de pontos iguais.   b) a soma dos pontos ser par.   c) a soma dos pontos ser igual a 6. 6 - De um lote de 14 peças, das quais 5 são defeituosas, escolhemos 2 peças aleatoriamente. Determine:   a) a probabilidade de que ambas sejam defeituosas.   b) a probabilidade de que ambas não sejam defeituosas.   c) a probabilidade de que uma seja defeituosa.   7 - Qual a probabilidade de um casal ter 4 filhos e todos do sexo feminino?     8 - Numa caixa estão 8 peças com pequenos defeitos, 12 com grandes defeitos e 15 perfeitas.   a) Uma peça é retirada ao acaso. Qual a probabilidade de que esta peça seja perfeita ou tenha pequenos defeitos.   b) Quatro peças são retiradas ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de que as quatro tenham grandes defeitos.   c)  Cinco peças são retiradas ao acaso, com reposição. Qual a probabilidade de que as cinco sejam perfeitas.   9 - Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam Engenharia, 150 Matemática e 10 estudam Engenharia e Matemática. Se um aluno é escolhido ao acaso, qual a probabilidade de que:   a) ele estude Engenharia e Matemática.   b) ele estude somente Engenharia   c) ele estude somente Matemática   d) ele não estude Engenharia nem Matemática   e) ele estude Engenharia ou Matemática       10 - De um grupo de 200 pessoas, 160 têm fator RH positivo, 100 têm sangue tipo O e 80 têm fator RH positivo e sangue tipo º Se uma dessas pessoas for selecionada ao acaso, qual a probabilidade de:   a) seu sangue ter fator RH positivo?   b) seu sangue não ser do tipo O?   c) seu sangue ter fator RH positivo ou ser tipo O?

SIMULADO

Matemática

1000            2000        3000

1    d            b        d

2    b            d        b

3    a            c        c

4    a            d        d

 

 

MATEMÁTICA - 2000   1) Após uma partida de futebol na Olimpíada 2008, em que as equipes jogaram com as camisas numeradas de 1 a 11 e não houve substituições, procede–se ao sorteio de dois jogadores de cada equipe para exame anti–doping. Os jogadores da primeira equipe são representados por 11 bolas numeradas de 1 a 11 de uma urna A e os da segunda, da mesma maneira, por bolas de uma urna B. Sorteia–se primeiro, ao acaso e simultaneamente, uma bola de cada urna. Depois, para o segundo sorteio, o processo deve ser repetido, com as 10 bolas restantes de cada urna. Se na primeira extração foram sorteados dois jogadores de números iguais, a probabilidade de que aconteça o mesmo na segunda extração é de:   0,09 ( ) 0,1 ( ) 0,12 ( ) 0,2 ( ) 2) Escolhemos ao acaso duas faces distintas de um octaedro (cujas faces são triângulos eqüiláteros). A probabilidade de serem adjacentes é:   1/8 ( ) 1/7 ( ) 3/8 ( ) 3/7 ( )   MATEMÁTICA - 1000 01) Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o número de irmãos igual ao número de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs. Qual é o total de filhos e filhas do casal?   a) 4 ( ) b) 5 ( ) c) 6 ( ) d) 7 ( )   2. Uma pessoa quer trocar duas cédulas de 100 reais por cédulas de 5, 10 e 50 reais, recebendo cédulas de todos esses valores e o maior número possível de cédulas de 50 reais. Nessas condições, qual é o número mínimo de cédulas que ela poderá receber?   8 ( ) 9 ( ) 11 ( ) 12 ( )   3.A função quadrática (x+3)(x-1), corta o eixo x nos pontos: a) (-3,0), (1,0) b) (-3,-3), (1,1) c) (0,3), (0,-1) d) (0,-3), (0,-1)   4.Considerando A={xÎZ / -1 < x < 10} e sendo R a relação em A formada pelos pares (x,y) tais que y=2x-1, o domínio e a imagem dessa relação correspondem, respectivamente a: a) {1,2,3,4} e {1,3,5,7} b) {1,2,3,4} e {3,5,7,9} c) {1,2,3,4} e {0,2,4,6,8} d) {1,2,3,4,5} e {0,2,4,6,8}                   MATEMÁTICA - 3000   1) Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o número de irmãos igual ao número de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs. Qual é o total de filhos e filhas do casal?   a) 4 ( ) b) 5 ( ) c) 6 ( ) d) 7 ( )   2) Uma pessoa quer trocar duas cédulas de 100 reais por cédulas de 5, 10 e 50 reais, recebendo cédulas de todos esses valores e o maior número possível de cédulas de 50 reais. Nessas condições, qual é o número mínimo de cédulas que ela poderá receber?   8 ( ) 9 ( ) 11 ( ) 12 ( )     3) Uma loja lança uma promoção de 10% no preço dos seus produtos para quem for jogador da Olimpíada. Se uma camisa onde está escrito "OLIMPÍADAS 2008" custa R$120,00, quanto o jogador pagará? a) R$ 110,00 b) R$ 100,00 c) R$ 108,00 d) R$ 132,00

3) Considere todas as trinta e duas seqüências, com cinco elementos cada uma, que podem ser formadas com os algarismos 0 e 1. Quantas dessas seqüências possuem pelo menos três zeros em posições consecutivas?   3 ( ) 5 ( ) 8 ( ) 12 ( )   4) Nove times de futebol vão ser divididos em 3 chaves, todas com o mesmo número de times, para a disputa da primeira fase de um torneio. Cada uma das chaves já tem um cabeça de chave definido. Nessas condições, o número de maneiras possíveis e diferentes de se completarem as chaves é:   21 ( ) 30 ( ) 60 ( ) 90 ( )                                                                                                                                                   4) Uma matriz recebe certo tipo de nome dependendo da quantidade de elementos em suas linhas e colunas ou apenas por características específicas. I - Matriz linhas - Recebe o nome de Matriz linha toda matriz que possui apenas uma linha. O número de colunas é independente. II- Matriz coluna - Recebe o nome de Matriz coluna toda matriz que possuir apenas uma coluna. III- Matriz nula - Recebe o nome de Matriz nula toda matriz que independentemente do número de linhas e colunas todos os seus elementos são iguais a zero. IV- Matriz quadrada - Matriz quadrada é toda matriz que o número de colunas é o mesmo do número de linhas. V- Matriz diagonal - Será uma matriz diagonal, toda matriz quadrada que os elementos que não pertencem à diagonal principal sejam iguais a zero. Sendo que os elementos da diagonal principal podem ser iguais a zero ou não. Está correta a alternativa: I e III I, II e III I, II, III e IV I, II, III, IV e V

UTILIDADES DO MMC E DO MDC

 

Tópicos em Aritmética, Álgebra e Geometria para o Ensino Médio

 

ATIVIDADE ELETRONICA 1

GRUPO:     FILOMENA MARTINS CASTRO

        MARINA AGUIAR CAMPOS SALGADO

PÓLO: RIO BONITO

 

MDC E MMC, uma nova perspectiva

Após muita pesquisa na Internet, em livros e revistas, os quais tratam de encontrar métodos geométricos para calcular o MDC e o MMC entre dois números, encontrei um que, espantosamente, poderia me permitir obter quase que ao mesmo tempo o MDC e o MMC.

É possível obtê-los utilizando apenas contagem. Veja como funciona:

O método

1- Considere um retângulo de lados, com medidas inteiras a e b, dividindo em quadradinhos unitários.

2- Trace uma das diagonais do retângulo, marcando-a nos pontos que são vértices de algum quadradinho unitário.

3- Conte em quantas partes esses pontos dividem a diagonal: esse número d é o MDC (a e b)

4- Trace linhas linhas verticais (horizontais), passando por cada um dos pontos que você marcou, unindo dois lados opostos do retângulo. Conte o número de quadradinhos unitários existentes em qualquer um dos retângulos determinados por essas linhas verticais (horizontais): esse número m é o MMC (a,b).

A figura a seguir ilustra o procedimento para a=12 e b=21.

A diagonal está dividida em três partes iguais, logo, 3=MDC(12,21).

O número de quadradinhos existentes em qualquer um dos três retângulos é 7x12, logo 84= MMC(12,21).

 

 

JUSTIFICATIVA

Se d= MDC (a,b), existem inteiros u e v tais que a =du e b=dv, com u e v primos entre si.

Considerando um sistema de eixos ortogonais com a origem num dos vértices do retângulo, como na figura, a equação da reta que contém a diagonal considerada é

 

 

 

 

Logo, pertencem à diagonal os pontos (0,0); (u,v) pois

 

(du,dv)=(a,b), ou seja, d + 1 pontos de coordenadas inteiras, igualmente espaçados.

Para verificar que são apenas esses os pontos da diagonal com coordenadas inteiras, suponha que (p,q) pertença à diagonal e tenha coordenadas inteiras. Então,

 

O que implica qu=vp e, sendo MDC (u,v)=1, vem que q=rv e p=ru, com 0 ≤ r ≤ d.

Logo, a diagonal fica dividida em d pedaços iguais.

Como os d+1 pontos são igualmente espaçados, os d retângulos obtidos no item
4 têm a mesma área m. Logo, md=ab, o que mostra que m= MMC(a,b), e m é também o número de quadradinhos contido nos retângulos.

Observação

Se o interesse for calcular apenas o MMC, basta traçar uma linha vertical, passando pelo ponto descrito no item 2 que seja o mais próximo do vértice superior atingido pela diagonal e contar os quadradinhos existentes no menor retângulo determinado por essa linha vertical.

 

 

Referência Bibliográfica

Explorando o ensino da Matemática: atividades: volume 2/ seleção e organização Ana Carolina P. Hellmeister...[et al.]; organização geral Suely Druck. – Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, 2004.(Páginas 87-89)