Tópicos em Aritmética, Álgebra e Geometria para o Ensino Médio
ATIVIDADE ELETRONICA 1
GRUPO: FILOMENA MARTINS CASTRO
MARINA AGUIAR CAMPOS SALGADO
PÓLO: RIO BONITO
MDC E MMC, uma nova perspectiva
Após muita pesquisa na Internet, em livros e revistas, os quais tratam de encontrar métodos geométricos para calcular o MDC e o MMC entre dois números, encontrei um que, espantosamente, poderia me permitir obter quase que ao mesmo tempo o MDC e o MMC.
É possível obtê-los utilizando apenas contagem. Veja como funciona:
O método
1- Considere um retângulo de lados, com medidas inteiras a e b, dividindo em quadradinhos unitários.
2- Trace uma das diagonais do retângulo, marcando-a nos pontos que são vértices de algum quadradinho unitário.
3- Conte em quantas partes esses pontos dividem a diagonal: esse número d é o MDC (a e b)
4- Trace linhas linhas verticais (horizontais), passando por cada um dos pontos que você marcou, unindo dois lados opostos do retângulo. Conte o número de quadradinhos unitários existentes em qualquer um dos retângulos determinados por essas linhas verticais (horizontais): esse número m é o MMC (a,b).
A figura a seguir ilustra o procedimento para a=12 e b=21.
A diagonal está dividida em três partes iguais, logo, 3=MDC(12,21).
O número de quadradinhos existentes em qualquer um dos três retângulos é 7x12, logo 84= MMC(12,21).
JUSTIFICATIVA
Se d= MDC (a,b), existem inteiros u e v tais que a =du e b=dv, com u e v primos entre si.
Considerando um sistema de eixos ortogonais com a origem num dos vértices do retângulo, como na figura, a equação da reta que contém a diagonal considerada é
Logo, pertencem à diagonal os pontos (0,0); (u,v) pois
(du,dv)=(a,b), ou seja, d + 1 pontos de coordenadas inteiras, igualmente espaçados.
Para verificar que são apenas esses os pontos da diagonal com coordenadas inteiras, suponha que (p,q) pertença à diagonal e tenha coordenadas inteiras. Então,
O que implica qu=vp e, sendo MDC (u,v)=1, vem que q=rv e p=ru, com 0 ≤ r ≤ d.
Logo, a diagonal fica dividida em d pedaços iguais.
Como os d+1 pontos são igualmente espaçados, os d retângulos obtidos no item
4 têm a mesma área m. Logo, md=ab, o que mostra que m= MMC(a,b), e m é também o número de quadradinhos contido nos retângulos.
Observação
Se o interesse for calcular apenas o MMC, basta traçar uma linha vertical, passando pelo ponto descrito no item 2 que seja o mais próximo do vértice superior atingido pela diagonal e contar os quadradinhos existentes no menor retângulo determinado por essa linha vertical.
Referência Bibliográfica
Explorando o ensino da Matemática: atividades: volume 2/ seleção e organização Ana Carolina P. Hellmeister...[et al.]; organização geral Suely Druck. – Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, 2004.(Páginas 87-89)
